Rumus Trigonometri (kelas 11)

Rumus Trigonometri – Pengantar

Dalam trigonometri, Sinus. Cosinus. Tangent, Cosecan, Secan, dan Cotangent bisa digunakan bersama-sama baik dengan penjumlahan atau pengurangan maupun perkalian. Rumus-rumus penjumlahan, pengurangan, atau perkalian dalam trigonometri dapat diturunkan dari rumus jumlah dua sudut atau selisih dua sudut.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Integral Substitusi dan Integral Parsial

Fungsi Kuadrat

Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut dan Selisih Sudut

$sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta$

$sin (alpha - beta) = sin alpha cos beta - cos alpha sin beta$

$cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta$

$cos (alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta$

Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap

Pada rumus sudut rangkap, merupakan modifikasi dari penjumlahan dua sudut dengan $alpha = beta$ , sehingga rumusnya menjadi sebagi berikut:

$sin (alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta$ .

Subtitusikan $alpha = beta$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

$sin (alpha + alpha) = sin alpha cos alpha + cos alpha sin alpha$ .

Karena $sin alpha cos alpha = cos alpha sin alpha$ , maka didapat:

Sifat I: $sin (2 alpha) = 2 sin alpha cos alpha$ .

$cos (alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta$ .

Subtitusikan $alpha = beta$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

$cos (alpha + alpha) = cos alpha cos alpha - sin alpha sin alpha$ .

Karena $cos alpha cos alpha = cos^2 alpha$ dan $sin alpha sin alpha = sin^2 alpha$ , maka didapat:

Sifat II: $cos (2 alpha) = cos^2 alpha - sin^2 alpha$ .

Karena hasil pada cos sudut rangkap (II) merupakan selisih kuadrat, maka bentuk ini bisa disubtitusi dengan identitas trigonometri:

$sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1 rightarrow sin^2 alpha = 1 - cos^2 alpha$ .

Subtitusikan $sin^2 alpha$ pada persamaan rumus sudut rangkap dari cos (II) menjadi:

$cos (2 alpha) = cos^2 alpha - (1 - cos^2 alpha)$ .

Buka kurung pada persamaan menjadi:

$cos (2 alpha) = cos^2 alpha - 1 + cos^2 alpha)$ .

Jumlah kan kuadrat dari kedua cos akan didapat:

Sifat III: $cos (2 alpha) = 2 cos^2 alpha - 1$ .

$sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1 rightarrow cos^2 alpha = 1 - sin^2 alpha$ .

Subtitusikan $cos^2 alpha$ pada persamaan rumus sudut rangkap dari cos (II) menjadi:

$cos (2 alpha) = (1 - sin^2 alpha) - sin^2 alpha$ .

Buka kurung pada persamaan menjadi:

$cos (2 alpha) = 1 - sin^2 alpha - sin^2 alpha$ .

Jumlah kan kuadrat dari kedua cos didapat:

Sifat IV: $cos (2 alpha) = (1 - 2 sin^2 alpha)$ .

Rumus Trigonometri untuk Perkalian Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian dari Sinus dan Cosinus diperoleh dari menjumlahkan dan mengurangi rumus dari sudut rangkap.

Rumus Pertama:

Jumlahkan $sin (alpha + beta)$ dengan $sin (alpha - beta)$ :

rumus trigonometri perkalian

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$sin alpha cdot sin beta = frac{1}{2} { sin (alpha + beta) + sin (alpha - beta) }$ .

Rumus Kedua:

Kurangkan $sin (alpha + beta)$ dengan $sin (alpha - beta)$ :

perkalian trigonometri

Dari perhitungan hasil diatas, diperoleh:

$cos alpha cdot sin beta = frac{1}{2} { sin (alpha + beta) - sin (alpha - beta) }$ .

Rumus Ketiga:

Jumlahkan $cos (alpha + beta)$ dengan $cos (alpha - beta)$ :

cos kali cos

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$cos alpha cdot cos beta = frac{1}{2}{ cos (alpha + beta) + cos (alpha - beta) }$ .

Rumus Keempat:

Kurangkan dengan $cos (alpha + beta)$ dengan $cos (alpha - beta)$ :

sin x sin

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

$sin alpha cdot sin beta = - frac{1}{2} { cos (alpha + beta) - cos (alpha - beta) }$ .

Rumus Trigonometri untuk Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan merupakan modifikasi dari bentuk perkalian Sinus dan Cosinus.

Pada modifikasi ini, kita cukup mensubtitusi $alpha$ menjadi $frac{1}{2}(alpha + beta)$ dan $beta$ menjadi $frac{1}{2}(alpha - beta)$ , sehingga diperoleh:

$sin alpha + sin beta = 2 cdot sin frac{1}{2} (alpha + beta) cdot cos frac{1}{2} (alpha - beta)$

$sin alpha - sin beta = 2 cdot cos frac{1}{2} (alpha + beta) cdot sin frac{1}{2} (alpha - beta)$

$cos alpha + cos beta = 2 cdot cos frac{1}{2} (alpha + beta) cdot cos frac{1}{2} (alpha - beta)$

$cos alpha - cos beta = -2 cdot sin frac{1}{2} (alpha + beta) cdot sin frac{1}{2} (alpha - beta)$ .

Rumus Trigonometri Pada Segitiga

Aturan Sinus

Setiap segitiga, selalu memiliki tiga sudut dan setiap sudut selalu menghadap pada satu sisi. Dari masing-masing sudut dan sisi yang berhadapan, terdapat perbandingan yang selalu sebanding, yaitu:

$frac{A}{sin A}=frac{B}{sin B}=frac{C}{sin C}$ .

Aturan Sinus ini dapat digunakan dalam perhitungan jika paling sedikit diketahui 2 sisi 1 sudut atau 1 sisi 2 sudut.

Aturan Cosinus

Rumus perbandingan sudut dengan sisi pada segitiga, selain menggunakan Sinu, juga terdapat rumus Cosinus, yaitu:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A$ .

$b^2 = c^2 + a^2 - 2ac cos B$ .

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$ .

Rumus diatas digunakan untuk menentukan panjang sisi jika diketahui 2 sisi dan 1 sudut yang diapit kedua sisi tersebut.

Sedangkan untuk menentukan besar sudut jika diketahui 3 sisi segitiga, dapat menggunakan aturan ini juga, dengan mengubah bentuk di atas, misalnya:

$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 cdot b cdot c}$ .

Contoh Soal

Sederhanakah bentuk persamaan berikut $frac{1-(sin x - cos x)^2}{1 - cos 2x}$ !

Jawab:

Penjabaran dari bentuk $(sin x - cos x)^2$ adalah $sin^2 x + cos^2 x - 2 sin x cos x$ , dimana $sin^2 x + cos^2 x = 1$ sesuai identitas trigonometri, sehingga:

$sin^2 x + cos^2 x - 2 sin x cos x = 1 - 2 sin x cos x$ .

Untuk bentuk $cos 2x$ , dengan menggunakan rumus sudut rangkap, diperoleh bentuk $cos^2 x - sin^2 x$ , $2 cos^2 x - 1$ , atau $1 - 2 sin^2 x$ . Untuk penyelesaian persamaan ini, kita gunakan bentuk $1 - 2 sin^2 x$ .